私は元々、国民保険・国民年金だったのですが、派遣で3か月働くことになり
その間だけ派遣会社の健康保険・厚生年金に加入することになりました。
健康保険、厚生年金に加入する手続きの方は、派遣会社がやってくれるのですが
元々入っていた国民保険をやめたことは自分で市役所に届け出なければいけません。
（そうでないと、ずっと健保と国保の支払いをすることになり、二重払いになってしまいます。）
その時は新しく入った社会保険の保険証と、印鑑が必要です。
私の場合、少々ややこしくて
国保
↓
健康保険に加入（3か月だけ）
↓
期間満了で国保に戻る（2週間だけ）
↓
再び別の会社で健康保険に加入（今度は長期）
となってしまったのです。
この場合必要なものは、
１．1つ目の会社で、健康保険の資格を取得した日付が分かる書類（保険証のコピーで可）
２．資格を喪失した日付が分かる書類。（派遣会社から送ってくれた）
（私は保険証のコピーを取ってなくて、期間が終わったら派遣会社にすぐ返してしまったため、あとでもう一度書類を送ってもらえるようにお願いしました。）
３．2つ目の会社の健康保険証
４．印鑑
でした。
これらを持って市役所の国民保健の窓口で手続きします。
書類の届けが終わったら、国民保険と国民年金の保険料の返金は、後日してもらえます。
うちの住んでる市役所は、平日でも19時までやってくれている時や、日曜日でも手続きできる日があり、助かりました。平日行けない方は市役所に直接聞いてみられるといいかもしれませんね。